中学、数学、道のり、速さ、時間

加賀と金沢で学習塾をやっている永江です。
小学生と中学生が対象です。

 

中学校の数学でかなり重要性の高いテーマのひとつに
道のり、速さ、時間、の問題があります。
連立方程式の文章問題としてよく見かけますね。

この3つの要素はもちろん関係があって、
それを覚えておく方法として、こういうのがあります。

 

みはじ

はじき
です。

 

「みはじ」は「道のり」「速さ」「時間」のこと。
「はじき」は「速さ」「時間」「距離」のこと。

「道のり」と「距離」は同じことですね。

 

教え方はいろいろあるみたいですが、
言葉の並び順から、この画像のような感じで覚えておきます。

画像の中にある乗算(掛け算)と除算(割り算)の記号は、
それを共有する2つの要素についてその計算をすると、
残り1つの値が出せるという意味です。

例えば、
道のりを速さで割る(除算する)と時間が出せます。

 

「はじき」については、その並びから、
個人的にこうしたほうがしっくり来ます。

とにかく、
要するに、
ある1つを求めるには、他の2つをどう計算するのかを覚えておくためのものです。

ただし、
この法則(?)については、
覚えておきさえすればよいというわけではないと考えます。

つまり、
なぜそうなるのかをちゃんと理解しておいたほうがよいということです。

 

そもそも速さとはなにかということですが、
それは、単位時間あたりの移動距離です。

時速30kmという速さであれば、
1時間に30km進むということです。

1時間に30km進むのだから、
2時間では60km進む。
これは、まさに「はじき」の計算で、

速さ30km/時 × 時間2時間 = 距離60km

ということです。

小学生の算数でいうと
1つあたりの数 × いくつ分 = 全体の数
ということになります。

 

おそらく、
距離と時間の概念が先にあって、
速さを「単位時間に進む距離」と定義したのではないかと思います。

そのとおりであれば、この3つの要素の関係は
まず、
この図がスタートということになりますね。

 

方程式を解くために両辺に同じことをするということが分かっていれば、
それを利用して3要素の組み合わせをいくらでもいじれます。

つまり、この、定義といってもいい3要素の最初の関係を分かっていれば、
実は「みはじ」も「はじき」も要らないとも言えちゃうわけです。

もちろん「作業効率」のためには覚えておくといいのですが、
それでも、本当は、そもそもなんなのかということを理解しておくのが
大切なことなのではないかと思います。

 

ただ覚えるだけの対処方法では、面白くないですものね。

 


 


数学は「数」だけじゃなく「図形」も扱う

思考力トレーナーの永江です。

石川県の加賀市というところで、小中学生の学習指導を行っています。
近所の地区会館という施設の一室をお借りしての、
個別指導の学習塾のようなことをやっているのです。

特に私が力を入れて教えているのは算数・数学と国語ですが、
今日はこのなかで「数学」についての雑記を少し綴ってみます。

 

数学という名前、あるいは算数という名前ですが、
必ずしも「数」の概念だけを扱っているわけじゃないんですよね。
分かりやすく言うと「図形」つまり「形」の概念も扱います。
図形の中にも角度や長さといった「数」が登場しますが、
本来なら「形」とは純粋に「形」としてこの世に存在するのです。
それを、人類みんなが共通の認識として処理していくために
数字を使うことが便利だというだけなんですね。

だから、図形を見て感覚的に思考することも大事です。
多角形の角数が増えれば、その角度の合計が増えるというのは、
計算しなくても感覚的に分かってほしいものです。

相似の概念は、数字を当てはめた理論で説明できなくても、
なんとなく、見たらそう思うような感性も必要だと思います。

 

受験や試験のテクニックでいうと、
図形の問題に示される図は、角度や長さの記述がなくても、
問題どおり、ほとんど正確に描かれている場合がほとんどです。
ということは、感覚的にその図から読み取れることが分かれば、
正解を導いたり、自分の答えが正しいかどうかの確認をしたりするのに
とても有利になるのです。

受験テクニックだけじゃなく、いろんな仕事の実務でも、
理論的に説明できることも大切ですが、
感覚的に納得や理解をするということも必要です。

理論と感性は両方あったほうがいいんですよね。

 

数学のカリキュラムでは、数の計算はもちろんですが、
「形」の概念についても図形の問題などで取り組むようになっています。
この感覚は意外と社会に出てからも有用なので、
ぜひ、楽しみながら取り組んでもらえたらと思っています。

もちろん、子供だけじゃなく、大人もね。

 

加賀市内、小中学生のための学習指導「こほく寺子屋」の詳細はこちら

 


 


数学にセンスは必要なのか

“思考力トレーナーの永江です。

石川県の加賀市で学習塾のようなこともやっています。
近くの地区会館の一室をお借りして「こほく寺子屋」とうたい、学習指導を行っています。

加賀市にはほかにも塾があると思いますが、
どうやら私の住んでいる地域にはあまり十分ではないようです。

 

それはさておき、
ここでは主に数学・算数と国語・作文を教えているのですが、
そのなかでふと「数学にセンスは必要か?」ということを考えます。

 

必要かどうかで結論をいえば数学にセンスは必要です。
ほんとうの意味での数学的センスもそうですが、
特に中学生くらいのころは、学校の授業やテストで出てくる問題に対して
それを頭の中でどう処理するのかというセンスが問われます。

ただ、
センスというとまるで生まれついてのもののように捉えられ、
才能という言葉と同じように理解されるかもしれませんが、
少なくともセンスはトレーニングによって向上できます。

運動能力が低い子供であっても、
わかりやすい指導を受けると見違えるように走るのが上達したりしますね。
数学的なセンスについてもこれと同じようなことがいえます。

 

では、どういうトレーニングが数学的センスに良いのかというと、
いくつかの方法が考えられます。

ひとつには、
家庭内にある数えられるものや量をはかれるものをつかって、
その値が変化することについて話をするのです。
「ここにパンが6個あるけど、お母さんが1つ食べたら何個になるかな?」
といった簡単なものから始めればよいです。
できれば加減計算だけじゃなく乗除の計算も含まれるといいですね。
これは数の概念のセンスにつながります。

 

次に考えられるのは、図形や空間把握のセンスです。
たとえば家の見取り図(間取り図)を描いてみる。
近所の地図を描いてみる。
そういったことをするだけでもセンスは必ず磨かれます。

特に小中学校の算数と数学は、
数と図形が一緒になって教科がつくられているので、
両方をバランスよく鍛えましょう。

 

最後に、
そうはいってもなかなか具体的なことが思いつかないという人は、
学校で指定されている教科書を調べてみましょう。
上で紹介したようなちょっとしたトレーニングのヒントが
実はたくさん書かれています。

教科書は専門家が何人もかかって勉強のために編纂したものです。
書き方が悪いなんていうことはありませんし、
まして社会に出て役に立たないなんてものではありません。
数学や算数が直接的に社会に出てからの役に立たないように思われますが、
思考のセンス、それも数学的なセンスが身につけば、
生きるための考える能力も成長していきます。

ほんのちょっとでいいので、
数学的センスを鍛えるトレーニングを考えてみましょう。”

 


 


中学生の勉強方法 数学その2

思考力トレーナーの永江です。

中学生のお子さんがいるお父さん、お母さん。
子供がノートに図形を描くときに奇麗に描けているでしょうか。

数学は理論の教科ではありますが、
一方で、感覚的な理解が非常に大切でもあります。
図形を描くときにも丁寧にやらせてあげましょう。

 

例えば、中学校1年の数学では、比例と反比例のグラフを描きます。
比例のグラフは直線なので定規を当ててスーッと線を引きますが、
反比例は曲線になるので、
いくつかの点を置いてからそれをなぞるように描いたりします。

このときに、
なるべく本来の反比例の曲線に近い方が、
描いた本人が「反比例のなんたるか」を理解しやすいです。

仮置きした点を直線で結んではいけないように、
正しくない曲線は認識を不正確なものにしてしまいます。

 

反比例の曲線はまだ比較的にラクな方ですが、
面積や角度の問題を考えるときに、
不正確な図形を描いていると正確な思考の妨げになります。

あらかじめ図形が示されている場合はまだ問題が小さいですが、
自分で図を描いてみないといけない場合には、
正確なものが表現できるかどうかはとても大切です。

 

したがって、
計算問題に取り組むのと同じような重要性をもって
上手な図形が描けるようになるのが理想です。

具体的には、
なるべく正確な円や円弧が描けること

なるべく真っすぐな直線が引けること
そして
直線をなるべく正確に等分すること
この3つがまずできるようになると良いです。

 

下手くそな図形を描くと
その中に隠されたヒントに気づきにくくなるのでもったいないです。

 

では、どうすると上手に描けるようになるかといえば、
それはひたすら練習です。

でも、ただ線や円を描いていても面白くもなんともないので、
本当は小さいころからお絵かきを好きにさせるのが良いのです。

時計の絵を描いてみる
紙の上に線路を引っ張ってみる
お父さんの顔を描いてあごの曲線を引く
お母さんの顔を描いて目鼻のバランスを練習する

 

こんなところにも、
実は将来に役立つちょっとしたトレーニングがあるんですよ。

 


 


中学生の勉強方法 数学その1

思考力トレーナーの永江です。

中学校になったとたんに数学でつまづいてしまって成績が落ちた。
そんなお子さんをお持ちのお母さんには、
ぜひ、この方法を試してみてほしいです。

中学生、特に1年生がやるべき数学の勉強方法です。

 

小学校の高学年から中学校にかけては、
単に数や図形を組み合わせて変化させるだけでなく、
なぜそうなるのかという理論を考えさせることが多くなります。

一方で、
記号や符号の定義や意味などを
正しく理解して「覚えておく」ことも求められます。

例えば、+(プラス)とは加えることや0(ゼロ)より大きいことを表し、
乗除(かける、わる)は加減(たす、ひく)よりも優先する、
などといった、覚えなくてはどうしようもないことがあります。

 

覚えなくてはどうしようもないことは、
その内容は簡単なのですぐに「分かった!」と思ってしまいます。
しかし、単なる定義などは簡単に理解(分かった)できるので、
分かって当たり前です。

大事なことは、分かることではなくて、
次に使うときに覚えていることです。

 

では、このような、
定義やルールはどうやったらちゃんと覚えられるかというと、
それは繰り返しそれを使うようにするしかありません。

 

数学は応用力の教科だと思われているのですが、
ベースになるルールは覚えなくてはしょうがないので、
体に染み込ませるようになんども繰り返し使って覚えます。

特に、中学校1年でつまずく子供は、
1学期で学習する基本ルールの習熟が不足しています。

だから、基本となる計算の問題を中心にして、
何度も繰り返して演習をすることで、
「分かった」を「覚えた」にして、
そして、体に染み込んでいるから自然にできるという状態を目指します。

 


 


小学生の勉強方法 算数

思考力トレーナーの永江です。

小学生の算数では、
数と図形の概念について基本的な理解をすることと、
簡単な応用ができるようになることが目標になっています。

算数は将来の数学につながるものとして、
理系的、左脳的、論理的な思考が必要だと考えられがちですが、
小学生、特に低学年で身につけるべきなのは、
むしろ右脳的な感覚で理解する能力です。

 

たとえば、
1という数と2という数の関係性は、
同じ大きさの2つの物体を並べることによって説明でき、
これの理解は明らかに感覚的なものだと言えます。

「あ、同じものがもう1つあると『2』になるんだ」
ということは、理論ではなくて感覚で腹落ちさせます。

同じように、
加減乗除(足す、引く、掛ける、割る)という四則演算は、
低学年の間に理論で説明しても分かりづらく、
絵や図形で示したほうが納得できるはずです。

だから、小学生の教科書には、
絵やイラストを頻繁に使用してあります。

 

したがって、
小学生の算数の勉強には感覚的な要素を取り入れるべきで、
数字と記号だけをならべた計算式ばかりを見せていては、
できない生徒をどんどん増やしていく結果になりかねません。

例えば九九をおぼえるために暗唱させるのは良いのですが、
ちゃんと縦横に並んだイラストなどを意識させて、
掛け算というのはどういうものかを感覚で理解させましょう。

 

そうはいっても計算の練習問題などは、
ひたすら数字と記号が続いていきます。
このときにどういう勉強方法が相応しいのかといえば、
計算の過程や答えの書き方に注意をするのです。

数字の桁をそろえるとか、
記号の位置が縦にそろえるように書くとか、
そもそも数字や記号を丁寧にきれいに書くとか、
きれいであることを感覚的に好むようにしていきます。

つまり、
計算練習における「手習い」「習字」のようなイメージです。

 

小学生、特に低学年の算数の勉強には、
見た目の形、美しさを意識した、
感覚的な能力を鍛えるような勉強方法が良いのです。

 


 


数学で途中計算の書き方、普通のメモにも言えること

思考力トレーナーの永江です。
石川県加賀市の片山津地区で、学習指導の教室(塾)を運営しています。

数学の学習方法というか、
算数のレベルでも言えるような計算の書き方の注意について書きます。

このことは子供の勉強の仕方というレベルだけじゃなく、
大人が考え事にメモを活用するときにも言えるような
普遍性のある要素を含んでいます。

 

私が中学生だったときの数学の先生に教わったことで、
問題を解いていくときの注意事項です。

先日、
大学受験を題材にしたある漫画を読むことがあって、
その中で説明されていることにも同じようなことがありました。

ちょうど加賀市内で行っている学習指導で
中学生にちょっとしたコツとして教えていたことでした。

 

下の画像を見てください。
2つの計算問題に対して異なる書き方で解答を導き出しています。

計算問題の解答、書き方

上の例だダメなもので、
下の例が理想的な計算の書き方です。

違いがあるのは
・符号や数字と計算の経過を丁寧に書いてあるかどうか
・縦に並べて書いてあるかどうか
という2点です。

 

思考の途中経過を書き出しているものなので、
丁寧に書かないとミスにつながります。
符号が見づらかったり数字の書き方が乱雑であれば、
次の計算に進むときに間違った結果を生んでしまいかねません。

縦に並べるのは、
その方が途中経過のそれぞれのパーツが
きれいに上下に比較できるように並んで
やはりミスを減らせるようになるからです。

 

端的に言えば、
メモは分かりやすく丁寧に書く、ということになります。

 

頭の中で分かっているからと
いいかげんなメモの書き方をすると間違いを起こしやすくなります。

人間の頭の中なんて自分で思っているほど整理整頓されていませんから。
目に見えるものを使って美しく並べかえてあげないといけないのです。

 

数学の計算問題では、丁寧にきれいに縦にならべて、

その他のどんなメモ書きも、
分かりやすく丁寧に書きましょう。

 

最後に、
私が指導のときに使っている問題集です。
出版の事情には明るくないのですが、もしかしたら新刊としての発行はもう無いのかもしれません。
Amazonでは中古品の出品のみになっているようです。

ただ、指導要領に沿った形でわかりやすく単元が区切られていて、
問題量としても無理なく進められるものだと思います。


中1数学 (学研ニューコース問題集)

 


 


ニュートン算

りんごオフィスまなぶきでは、
さまざまな方にアタマの使い方をお伝えしたいと思っています。

そんな中で、いわゆるアタマの体操のようなもののネタを探したりしますが、
ちょくちょくお世話になっているサイトで見つけたのがニュートン算

 

詳しくは下記のページをご覧ください。
学びの場.com ニュートン算(基礎編)


簡単に言うと、同時に減ったり増えたりするものが
一定の値に達するまでにかかる時間などを求める計算方法です。
このページにある問題がなかなかほどよいアタマの体操になります。

 

明日からお仕事再開のみなさん、準備はいいですか?